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变化中的三角形导学案课件

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变化中的三角形导学案课件

●教学目标

(一)教学知识点

1.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程,进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响,发展符号感.

2.能根据具体情况,用关系式表示某些变量之间的关系.

3.能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系.

(二)能力训练要求

1.发展符号感和抽象思维能力.

2.发展有条理的思考和表达能力,用变化的思想研究自变量和因变量的关系.

(三)情感与价值观要求

继续体验从运动变化的角度认识数学对象的过程,发展对数学的认识.

●教学重点

1.列关系式表示两个变量的关系.

2.根据图形的面积公式或体积公式来求两个变量之间的关系式,会利用关系式根据任何一个自变量的值,求出相应因变量的值.

●教学难点

将具体问题抽象成数学问题并将它用关系式表示出来.

●教学方法

启发——自主探究相结合

在教师的启发和学生已有基础知识下,鼓励他们实践、探索变化过程中的变量关系、数量关系,体会自变量和因变量的依存关系,借助关系式表示变量之间的关系.

●教具准备

课件演示一:三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动;

课件演示二:圆锥的底面半径由小到大的变化;

课件演示三:圆锥的高由小到大的变化.

●教学过程

Ⅰ.创设情景,引入新课

[师]我们先来看下面的问题:

1.(1)如果正方形的边长为a,则正方形的周长C=________;面积S=________;

(2)圆的半径为r,则圆的面积S=________;

(3)三角形的一边为a,这边上的高为h,则三角形的面积S=________;

(4)梯形的上底、下底分别为a、b,高为h,则梯形的面积S=________;

(5)圆锥的底面的半径为r,高为h,则圆锥的体积V=________;

(6)圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的体积V=________.

2.填写下表并回答问题:

n 1 2 3 4 5 6 7

m 4 5 6 7 8 9 10

(1)表格反映的是哪两个变量的关系?谁是自变量?谁是因变量?

(2)根据表格中的数据,说一说m是怎样随n而变化的?

[生]1.(1)C=4a,S=a2;(2)S=πr2;(3)S= ah;(4)S= (a+b)h;(5)V= πr2?h;(6)V=πr2?h.

2.(1)表格中反映的是m和n这两个变量的关系,其中n是自变量,m是因变量.

(2)m随n的增大而逐渐增大.

[师]在第2题中,我们借助于表格,反映了两个变量的关系.我们还能不能借助于其他的形式来反映两个变量m和n的关系呢?

[生]从表格中我发现有一个规律,每一个m的值都比对应的n的值大3.因此用等式m=n+3可以反映两个变量m,n的关系.

[师]真棒!以前我们学习过的一元一次方程是含有未知数的等式,如今我们又要用等式来表示两个变量的关系,你们认同吗?

[生]认同!

[师]很好.我们在这里就把m=n+3这个等式叫做m随n变化的关系式.

Ⅱ.讲授新课

——根据具体情况,用关系式表示某些变量之间的关系.

1.变化中的三角形

看一看:课件演示一

看图回答下列问题:

图6-2中的三角形ABC底边BC上的高是6厘米,当三角形的顶点C沿着底边所在直线向B点运动时,三角形的面积发生了变化.

(1)在这个变化过程中,自变量、因变量分别是什么?

(2)如果三角形的底边长为x(厘米),那么三角形的面积y(厘米2)可以表示为________.

(3)当底边长从12厘米变化到3厘米时,三角形的面积从________厘米2变化到________厘米2.

图6-2

[师]从上面的课件演示过程来回答上面的问题.

[生](1)自变量是△ABC的底边BC的长,因变量是△ABC的面积.

[生](1)中的自变量也可以是∠ACB.

(2)y=3x

(3)当底边长是12厘米时,y= ×12×6=36(平方厘米);当底边长是3厘米时,y= ×3×6=9(平方厘米).因此当底边长从12厘米变化到3厘米时,三角形的面积从36厘米2变化到9厘米2.

[师]从同学们的回答中可以看到y=3x表示了三角形的底边长x和面积y之间的关系,它是变量y随变量x变化的关系式.因此,关系式是我们表示变量之间关系的又一种方法.大家可以比较一下这两种表示变量关系的方法——表格法和关系式法.

(让同学们与同伴交流,教师可倾听一下同学们在下面的说法).

[生]用表格法表示变量之间的关系,只有自变量和因变量对应的的有限个值,但较直观.而关系式表示变量之间的关系,根据自变量的任何一个值,便可求出相应的因变量的值.

[师]同学的分析很精彩.同学们还记得上学期见过的“数值转换机”吗?看图6-3:直观地表示了自变量和因变量的数值对应关系,即“输入”一个x的值就可以“输出”一个y的值.例如:输入x=2,则就可输出y=3×2=6.

图6-3

2.变化中的圆锥

做一做:课件演示二

如图6-4,圆锥的高是4厘米,当圆锥的`底面半径由小到大变化时,圆锥的体积也随之发生了变化.

(1)在这个变化过程中,自变量和因变量各是什么?

(2)如果圆锥底面半径为r(厘米),那么圆锥的体积V(厘米3)与r的关系式为________.

(3)当底面半径由1厘米变化到10厘米时,圆锥的体积由________厘米3变化到________厘米3.

图6-4

[师]根据课件演示回答上述问题.

[生](1)自变量是圆锥的底面半径,因变量是圆锥的体积;

(2)V= πr2;

(3)当底面半径r由1厘米→10厘米时,圆锥的体积V由 π厘米3→ π厘米3.

做一做:课件演示三

看图回答下列问题:

如图6-5,圆锥的底面半径是2厘米,当圆锥的高由小到大变化时,圆锥的体积也随之发生了变化.

(1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么?

(2)如果圆锥的高为h(厘米),那么圆锥的体积V(厘米3)与h的关系式为________.

(3)当高由1厘米变化到10厘米时,圆锥的体积由_______厘米3变化到_______厘米3.

图6-5

[生](1)自变量是圆锥的高,因变量是圆锥的体积;

(2)V= πh;

(3)当h由1厘米→10厘米时,圆锥的体积是由 厘米3→ 厘米3.

[师]在课件演示二中,我们知道当底面半径即自变量r由1厘米→10厘米时,因变量V由 π厘米3→ π厘米3;而在课件演示三中,当自变量h也是由1厘米→10厘米时,因变量V却是由 π厘米3→ π厘米3.为什么呢?

[生]这是由于它们的关系式不同.r与V的关系式是V= πr2;而h与V的关系式是V= πh.

Ⅲ.课堂练习

1.随堂练习(课本P169第1题)

在地球某地,温度T(℃)与高度d(m)的关系可以近似地用T=10- 来表示.根据这个关系式,当d的值分别是0,200,400,600,800,1000时,计算相应的T值,并用表格表示所得结果.

图6-6

[分析]本题的目的是学生进一步认识现实生活中存在的变量之间的关系,体会自变量和因变量数值之间的对应关系.在解决问题的过程中,学生可利用计算器,并保留两位小数.

解:计算出相应的T的值填入下表:

高度d/m 0 200 400 600 800 1000

温度T/℃ 10.00 8.67 7.33 6.00 4.67 3.33

2.补充练习

圆柱的高是10厘米,圆柱的底面半径为R厘米,圆柱的侧面展开图的面积为S平方厘米.

(1)写出圆柱的侧面展开图的面积S与圆柱底面半径R之间的关系式.

(2)用表格表示R从1厘米到10厘米(每一次增加1厘米)时,S相应的值.

(3)R每增加1厘米,S如何变化?

解:(1)S=20πR;

(2)表格如下

底面半径R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

侧面积S 20π 40π 60π 80π 100π 120π 140π 160π 180π 200π

(3)R每增加1厘米,S增加20π厘米2.

Ⅳ.课时小结

[师]这节课,同学们有何体会和收获呢?

[生]这节课,我们研究了某些图形中变量之间的关系,进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响.

[生]我们知道了变量之间的关系除了可以用表格表示外,还可以用关系式,并且初步体会了自变量和因变量的数值对应关系.

[生]课件演示使我们感受到学习数学的兴趣.

[生]用数学符号能表示现实世界中的一些规律,能用数学的角度去看世界.

[师]看来,同学们的收获还真不小!祝你们生活的快乐!

Ⅴ.课后作业

1.课本P169,读一读,去体会变量与变量之间的相互依赖关系在生活中广泛存在.在这个问题中,告诉我们随着地球内部厚度的增加,温度也在发生着变化.

2.课本P1701、2.

Ⅵ.活动与探究

我省是水资源比较贫乏的省份之一,为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的.某市规定如下用水收费标准:每户每月的用水不超过6立方米时,水费按每立方米a元收费;超过6立方米时,不超过的部分每立方米仍按a元收费,超过的部分每立方米按c元收费.该市某户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示:

月份 用水量(m3) 水费(元)

3 5 7.5

4 9 27

设某户该月用水量为x(立方米),应交水费y(元).

(1)求a、c的值,并写出用水不超过6立方米和超过6立方米时,y与x之间的关系式;

(2)若该户5月份的用水量为8立方米,求该户5月份的水费是多少元?

[过程]该题结合生活实际,立意新颖,可以培养学生节约用水的社会意识.

在已知自变量和因变量的数值对应关系及根据题意,由表格读取信息得到的用水量和水费的关系式,求a、c的值,只需利用方程的思想.同时还要有分类讨论的思想去解决该问题.

[结果](1)依照题意,有

当x≤6时,y=ax;

当x>6时,y=6a+c(x-6).

由已知,得7.5=5a ① 27=6a+3c ②

由①得a=1.5把a=1.5代入②得c=6,

所以y=1.5x(x≤6);y=9+6(x-6)=6x-27(x>6).

(2)将x=8代入y=6x-27(x>6)得

y=6×8-27=21(元)

所以,该户5月份的水费是21元.

●板书设计

§6.2变化中的三角形

一、看一看

课件演示一:变化中的三角形

①关系式表示变量之间关系的又一种方法.

②根据任何一个自变量的值,利用关系式,便可求出相应的因变量的值.

二、做一做

课件演示二:高为4厘米时,圆锥的体积与底面半径R的关系:V= πr2.

课件演示三:V= πh.

三、练习(由学生板演)

四、小结

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